正規奇異點
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在複平面上的常微分方程理论中，如果一個點处方程的系数是解析函数，則稱它是一個普通點，如果它不是普通點，則稱它是一個奇异点。在奇异点中，如果一個點在任何小扇区中解的增长受到一個代数函数的限制，則稱它是一個正規奇異點，如果一個奇異點不是正規奇異點，則稱它是一個非正規奇異點。
定义[编辑]
考虑具有Template:Serif亚纯函数的Template:Mvar阶常线性微分方程
应該在黎曼球上考慮這個方程，以将无穷远点作为可能的奇異點。如果需要，可以透過莫比乌斯变换将 ∞ 移动到复平面的有限部分。
然后對於任意给定的Template:Mvar，可以透過基于指示方程的弗罗贝尼乌斯方法来寻找复平面中形如Template:Serif的幂级数的可能解，其中Template:Mvar不必是整数；因此，这个函数的存在性仅取決於从Template:Mvar延伸出来的分支切口，或是在Template:Mvar周围的某个穿孔圆盘的黎曼表面上。如果Template:Mvar是普通點，則这个函数的存在性並不困難（ Lazarus Fuchs 1866）。当Template:Mvar是正規奇異點时，根据定义
如果Template:Mvar点不滿足上述條件，則Template:Mvar就是一个非正規奇異點。不规则奇点的不规则性通过庞加莱等级来测量（ Template:Harvard citation text ）。
正規性是一种牛顿多边形性質，从某种意义上说，对於Template:Var，允许的极点位于一个区域内，该区域以与轴成 45° 的线为界。
仅有奇异点（包括无穷远点）为正規奇異點的常微分方程被称为Fuchsian常微分方程。
参考資料[编辑]
- 脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- E. T. Copson, An Introduction to the Theory of Functions of a Complex Variable (1935)
- A. R. Forsyth Theory of Differential Equations Vol.IV: Ordinary Linear Equations (Cambridge University Press, 1906)
- Édouard Goursat, A Course in Mathematical Analysis, Volume II, Part II: Differential Equations pp. 128−ff. (Ginn & co., Boston, 1917)
- E. L. Ince, Ordinary Differential Equations, Dover Publications (1944)
- T. M. MacRobert Functions of a Complex Variable p. 243 (MacMillan, London, 1917)
- 脚本错误：没有“citation/CS1”这个模块。
- E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis pp. 188−ff. (Cambridge University Press, 1915)
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